三大招轻松快速解决有理函数积分的拆解
Author: [Cheers]
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有理函数积分拆分方法总结
定义 形如 $\int \frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)} \mathrm{d} x(n<m)$ 的积分称为有理函数的积分, 其中 $P_{n}(x), Q_{m}(x)$ 分别是 $x$ 的 $n$ 次多项式和 $m$ 次多项式。 方法 先将 $Q_{m}(x)$ 因式分解, 再把 $\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ 拆成若干干最简有理分式之和。
这里的思想就是化整为零，化繁为简，然后逐个击破，因为化成的分式很容易求得其积分值
这里注意有理函数拆分时应化为真分式，且分母最高次项系数为1的情况。
分类：
- 单根情况
- 重根情况
- 复数根
以上是有理函数积分中遇到的所有情况。
这是单根和重根的拆分规律
这是复数根的拆分规律
下面通过例子来说明如何拆分
1、单根情况
例1： $\frac{x+1}{x^{2}-5 x+6}$ 按照有理函数拆分原则将该分式拆为：
$$\frac{x+1}{x^{2}-5 x+6}=\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} \tag{1}$$
那么如何快速确定A、B的值呢？我们先以求解A为例，最后再总结一下规律。
首先等式两端同乘以A的分母,化成如下式子
$$\frac{x+1}{(x-3)}={A}+\frac{B(x-2)}{x-3} \tag{2}$$
然后令X=2,B那一项就等于0了，可以得到
$$A=\frac{2+1}{2-3}{=-3} \tag{3}$$
同理求B。
下面总结一下单根的情形。
$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$
计算A值时，将左式中的分母划去右式中A系数所表示的分母 $x-a$ ，并代入a值，即 ${A=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}{ \frac{1}{x-b} } }$
计算B值时，将左式中的分母划去右式中B系数所表示的分母 $x-b$ ，并代入b值，即 ${B=\displaystyle \lim_{x \rightarrow b}{ \frac{1}{x-a} } }$
2、重根情况
例2: 拆分 $\frac{1}{(x+1)^{3} x}$ 按照有理函数拆分原则将该分式拆为:
$$\frac{1}{(x+1)^{3} x}=\frac{A_{1}}{x+1}+\frac{A_{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{3}}+\frac{B_{1}}{x} \tag{4}$$
这里有四个未知数，我们先来观察左边的式子，左边分母中是 $(x+1)^{3}$ 和 $x$ 的组合，正好是 $A_{3}$ 和 $B_{1}$ 的分母，所以这两个未知数，可以应用上面的方法，两边等式同乘以分母，我们就只举例算一个 $A_{3}$
两边同乘 $(x+1)^{3}$ ，得到等式
$$\frac{1}{ x}=\frac{A_{1}(x+1)^{3}}{x+1}+\frac{A_{2}(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}+{A_{3}}+\frac{B_{1}(x+1)^{3}}{x} \tag{5}$$
此时令 $x=-1$ ，其余项都为0，只剩 $A_{3}=-1$
同理，我们可以直接口算求得出 $B_{1}$ =1
那么 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 如何计算呢？
首先我们肯定不能用上面的方法了，因为这样左式的分母消灭不完，使得它分母为0没有意义。
这时我们可以考虑运用极限的思想，比如我们计算 $A_{1}$ 时，我们在等式两端同乘 $x$ ，然后令等式两端的 $x$ 均趋向于 $+∞$
由此等式化简为
$$\frac{1}{(x+1)^{3} }=\frac{A_{1}x}{x+1}+\frac{A_{2}x}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}x}{(x+1)^{3}}+{B_{1}} \tag{6}$$
$$0=A_{1}+B_{1} \tag{7}$$
已知 $B_{1}=1$ ,可求得 $A_{1}=-1$
这样我们还剩下最后一个未知数 $A_{2}$ ，我们先来尝试一下上面的这种做法
计算 $A_{2}$ 时，在等式两边同乘 $x^{2}$ ，并令 $x$ 均趋向于 $+∞$
由此将等式
$$\frac{1}{(x+1)^{3} x}=\frac{A_{1}}{x+1}+\frac{A_{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{3}}+\frac{B_{1}}{x} \tag{4}$$
化简为
$$\frac{x}{(x+1)^{3} }=\frac{A_{1}x^{2}}{x+1}+\frac{A_{2}x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{A_{3}x^{3}}{(x+1)^{3}}+{B_{1}x} \tag{9}$$
此时如果令 $x→+∞$ 是计算不出来结果的。
这时可以采用另一种方法—特值法，令 $x$ 为一个特定整数，因为此时只有一个未知数，所以很好求解，例如这两个式子，我们可以令 $x=1$ ,并且将求解得出的 $A_{1}$ 、 $A_{3}$ 、 $B_{1}$ 带入等式中。
$$\frac{1}{8}=\frac{-1}{2}+\frac{A_{2}}{4}-\frac{1}{8}+1 \tag{10}$$
解得 $A_{2}=-1$
因此，当上述常规操作没有办法的时候，利用特值法可以灵活地求解。
3、复根情况
例3: 拆分 $\frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}$
按照部分分式原则，该有理分式可拆分为,
$$\frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{A}{2 x+1}+\frac{B x+C}{x^{2}+x+1} \tag{11}$$
观察等式左边的式子中含有A的分母 $2x+1$ ,因此还是等式两边同乘 $2x+1$ ，可得等式
$$\frac{x+2}{\left(x^{2}+x+1\right)}={A}+\frac{(B x+C)(2x+1)}{x^{2}+x+1} \tag{12}$$
令 $x=-\frac{1}{2}$ ,带入等式求解可得 $A=2$
接下来主要求解 $B$ 和 $C$
求解B我们可以利用 $x→+∞$ 的方法，等式两边同乘x；
$$\frac{(x+2)x}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)}=\frac{Ax}{2 x+1}+\frac{(B x+C)x}{x^{2}+x+1} \tag{13}$$
令 $x→+∞$ ，等式化为
$$0=\frac{A}{2}+B \tag{14}$$
解得 $B=-\frac{A}{2}=-1$ ;
最后的一个未知数 $C$ ,我们祭出大招—特值法，找一个简单的数带入，通过观察，我们令 $x=0$ ，将等式化简为
$$2=A+C \tag{15}$$
解得 $C=A-2=0$
总结
一、观察有理函数根的情况，属于是单根还是重根还是复数根，根据拆分规则正确拆分
二、求解拆分的未知数时，主要考虑三种方法
- 两边同乘某个未知数的分母，然后令x取能让其未知数分母为0的值
- 等式两边同乘x，令x→+∞
- 特值法（最后的大招）
有关有理函数的拆分分享方法到这里结束了，下面准备更新自动控制理论的离散部分还有机器学习相关的知识点。
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评论区看到有个同学出了个综合的题目，其实方法也是一样的，我在这里当做附加题，重新应用下上面的方法。
$\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{2}+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}$
首先根据根的类型，拆分为上述的式子，然后A和B的计算方法，可以使用第一种方法，口算既可得出 $A=1,B=-\frac{1}{2}$ 。而对于 $C$ 的求解，可以两边乘以 $x$ ，然后令其趋向于无穷，得到 $A+B+C=0,$ 求解出C值，最后的D采用特值法，令x=1既可求出。题目很多，掌握方法就行，具体结果过程就不详细列了。
