变限积分函数的求导

Author: [羽墨志]

Link: [https://zhuanlan.zhihu.com/p/376629429]

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，设 $x$ 为区间 $[a,b]$ 上的一点，考察定积分

$\int _a^xf(x)dx=\int _a^xf(t)dt$

如果上限x在区间 $[a,b]$ 上任意变动，则对于每一个取定的 $x$ 值，定积分 $\int _a^xf(t)dt$ 都有一个对应值，所以它在区间 $[a,b]$ 上定义了一个函数，记为

$\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt$

该函数就是积分上限函数。

如果函数 $f(x)$ 连续， $\phi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为

$\Phi’(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f[\varphi(x)]\varphi’(x)-f[\phi(x)]\phi’(x)$

[推导过程]

记函数f(x)的原函数为F(x)，则有 $F’(x)=f(x)$ 或 $\int f(x)dx=F(x)+C$ 。则对 $\Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt$ 应用牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

可得 $\Phi(x)=\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=F(x)|_{\phi(x)}^{\varphi(x)}=F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]$ 。

由函数和的求导法则 $[u(x)\pm v(x)]‘=u’(x)\pm v’(x)$ 可得

$\Phi^{‘}(x)=\frac{d}{dx}\int_{\phi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt={F[\varphi(x)]-F[\phi(x)]}’={F[\varphi(x)]}‘-{F[\phi(x)]}’$

由复合函数的求导法则 ${f[g(x)]}‘=f’[g(x)]g’(x)$ 可得

$\Phi^{‘}(x)={F[\varphi(x)]}’-{F[\phi(x)]}‘=F’[\varphi(x)]\varphi’(x)-F’[\phi(x)]\phi’(x)$

由 $F’(x)=f(x)$ 可知 $F’[\varphi(x)]=f[\varphi(x)]$ ， $F’[\phi(x)]=f[\phi(x)]$ ，则上式可改写为

$\Phi^{‘}(x)=F’[\varphi(x)]\varphi’(x)-F’[\phi(x)]\phi’(x)=f[\varphi(x)]\varphi’(x)-f[\phi(x)]\phi’(x)$

定理1 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x)=\int _a^xf(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上具有导数，且导数为 $\Phi^{'}(x)=\frac{d}{dx}\int _a^xf(t)dt=f(x)$ 。

【例】求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}$ 。

【解】令函数 $f(x)=\int_x^{2x}e^{t^2}dt$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，运用洛必达法则(L’Hôpital’s rule)则有

$\lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{f’(x)}{x’}=\lim_{x \to 0} f’(x)$

这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式可得

$f’(x)=\frac{d}{dx}\int_x^{2x}e^{t^2}dt=e^{(2x)^2}(2x)‘-e^{x^2}(x)’=2e^{4x^2}-e^{x^2}$

则有 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_x^{2x}e^{t^2}dt}{x}=\lim_{x \to 0}2e^{4x^2}-e^{x^2}=1$ 。

【情形一】 $F(x)=\int_{a}^{x}g(x)f(t)dt$

对于【情形一】，由于积分变量为 $t$ ，可将函数 $g(x)$ 提出到积分前面，则有 $F(x)=g(x)\cdot\int_{a}^{x}f(t)dt$ ，即原有的式子可变为 $g(x)$ 与 $\int_{a}^{x}f(t)dt$ 两项之积。

根据求导基本法则中的乘法法则可知，函数 $F(x)=f(x)\cdot g(x)$ 的导数为 $F(x)=f’(x) g(x)+f(x) g’(x)$ ，则有

$F’(x)=g’(x)\cdot\int_{a}^{x}f(t)dt + g(x)\cdot(\int_{a}^{x}f(t)dt)‘= g’(x)\int_{a}^{x}f(t)dt+g(x)f(x)$ 。

【例】已知函数 $F(x)=\int_{a}^{x}xtdt$ ，求函数 $F(x)$ 的导数。

【解】 $F’(x)=(x)‘\int_{a}^{x}tdt + x(\int_{a}^{x}tdt)’=\int_{a}^{x}tdt+x\cdot x={[\frac{1}{2}t^2]}_{a}^{x}+x^2=\frac{1}{2}(3x^2-a^2)$

【情形二】 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t,x)dt$

对于【情形二】， $t$ 和 $x$ 无法分离，需要采用换元法将 $x$ 分离出来。

【例】求函数 $F(x)=\int_{a}^{x}tf(x^2-t^2)dt$ 的导数。

【解】令 $u=x^2-t^2$ ，则 $du=-2tdt\Rightarrow dt=-\frac{du}{2t}$，带入原式可得

$F(x)=\int_{x^2-a^2}^{x^2-x^2}tf(u)\frac{du}{-2t}=-\frac{1}{2}\int_{x^2-a^2}^{0}f(u)du$ ，即 $F(x)=\frac{1}{2}\int_{0}^{x^2-a^2}f(u)du$

则 $F’(x)=\frac{1}{2}f(x^2-a^2)(x^2-a^2)'=xf(x^2-a^2)$ 。