Euler积分—B函数与Γ函数

Author: [BriChen]

Link: [https://zhuanlan.zhihu.com/p/433589729]

前言

某些非初等函数可以由含参变量的积分表示，B（beta）函数和Γ（gamma）函数是很重要的两个例子。它们统称为Euler积分，其定义为：

$\begin{aligned} 定义：\ &B(p,q)=\int_{0}^{1},{x^{p-1}(1-x)^{q-1}},dx \&\Gamma§=\int_{0}^{+\infty},{x^{p-1}e^{-x}},dx \end{aligned}$

其中B函数定义域为：p>0,q>0；Γ函数定义域为：p>0。

下面介绍它们的一些性质：

两个函数的其他表示形式；
递推性质；
余元公式；
B函数与Γ函数的联系公式；
两类函数在其定义域上连续，并且任意次可微。

然后，会做一下本节内容的小结。

1.两个函数的其他表示形式

$\begin{aligned} (1)&B(p,q)=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}},{\sin^{2p-1}\theta \cos^{2q-1}\theta},d\theta \(2)&B(p,q)=\int_{0}^{+\infty},{\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}},dx \(3)&\Gamma§=2\int_{0}^{+\infty},{x^{2p-1}e^{-x^2}},dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} &证明是容易的。 \&(1)做替换x=\sin^2\theta \&(2)做替换x=\frac{x}{1+x} \&(3)做替换x=x^2 \end{aligned}$

2.递推公式

$\begin{aligned} &(1)B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}B(p,q)\ &(2)B(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q)\ &(3)B(p+1,q+1)=\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)},B(p,q)\ &(4)\Gamma (p+1)=p,\Gamma§\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} Proof:&\ &(1)B(p+1,q)=\int_{0}^{1}, x^p(1-x)^{q-1},dx\overset{\text{分部积分}}{\implies} \frac{p}{q}\int_{0}^{1}, x^{p-1}(1-x)^{q},dx=\frac{p}{q}\int_{0}^{1}, x^{p-1}(1-x)^{q-1}(1-x),dx\ &\implies \frac{p}{q}\int_{0}^{1}, x^{p-1}(1-x)^{q-1},dx\ -\ \frac{p}{q}\int_{0}^{1}, x^{p}(1-x)^{q-1},dx =\frac{p}{q}B(p,q)-\frac{p}{q}B(p+1,q)\ &因此，有，\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad B(p+1,q)=\frac{p}{p+q}B(p,q)\ \ \&(2)由对称性知,B(q,p)=B(p,q).(或者说对B(p,q)做替换x=1-x)\&\quad B(p,q+1)=B(q+1,p),然后用(1)的结论，有， \ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad B(p,q+1)=\frac{q}{p+q}B(p,q)\ \ \&(3)依次用结论(1),(2)可得\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad B(p+1,q+1)=\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)}B(p,q)\ \ \&(4)\Gamma (p+1)=\int_{0}^{+\infty}x^pe^{-x},dx \overset{\text{分部积分}}{\implies}-(x^pe^{-x}|^{+\infty}0-p\int{0}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x},dx)=p\int_{0}^{+\infty}x^{p-1}e^{-x},dx=p\Gamma§\ \end{aligned}$

3.余元公式(0<p<1)

$B(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}\ \ \ p\in(0,1)\ \Gamma§\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi} p\in(0,1)$

$\begin{aligned} Proof:&\ &这里我们使用到了B函数的另一种表示形式，\ &B (p,1-p)=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+1-p}},dx =\int_{0}^{+\infty}\frac{\ \ x^{p-1}}{1+x},dx\ &\qquad \quad \quad \ \ ,=\int_{0}^{1}\frac{\ \ x^{p-1}}{1+x},dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{\ \ x^{p-1}}{1+x},dx\ &\xrightarrow{第二个式子做替换x=\frac{1}{x}}\int_{0}^{1}\frac{\ \ x^{p-1}}{1+x},dx+\int_{0}^{1}\frac{\ \ x^{-p}}{1+x},dx\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ \ x^{p-1}+x^{-p}}{1+x},dx\xrightarrow{展开级数\frac{1}{1+x}}\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n( x^{p-1}+x^{-p}),dx\ &=\lim_{r\rightarrow1^-}\int_{0}^{r}(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n( x^{p-1}+x^{-p})),dx(这里的积分号可与和号换序)\ &=\lim_{r\rightarrow1^-}(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+p} r^{p+n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-p+1} r^{n+1-p})(极限可以放入和式，不再赘述)\ &=\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+p} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n-p} \ &=\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{p+n} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{p-n} \ &=\frac{1}{p}+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{2p}{p^2-n^2} \ &=\frac{\pi}{\sin p\pi} \& 最后一个等号，联系\frac{1}{\sin x}的Fourier展开式可以推出。 \end{aligned}$

4.联系公式（p>0,q>0）

$B(p,q)=\frac{\Gamma§\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

$\begin{aligned} Proof:&\ &现设p>1,q>1,先看\Gamma (p+q)=\int_{0}^{+\infty}x^{p+q-1}e^{-x}, dx,\ \ &做替换x=(1+t)u\ (t\ge 0,且先认作为参数),得，\ & \qquad \qquad\quad \frac{\Gamma(p+q)}{(1+t)^{p+q}}=\int_{0}^{+\infty}u^{p+q-1}e^{-(1+t)u},du\ &上式两边乘以t^{p-1}，然后对t在(0,+\infty)上积分，得，\ &\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}\Gamma(p+q), dt=\int_{0}^{+\infty}dt\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}u^{p+q-1}e^{-(1+t)u},du\ &即，\ &B(p,q)\Gamma(p+q)=\int_{0}^{+\infty}dt\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}u^{p+q-1}e^{-(1+t)u},du\ &=\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}u^{p+q-1}e^{-(1+t)u} ,dt\right]du\ \ \ (这里的积分换序是合理的稍后说明)\ &=\int_{0}^{+\infty}\left[u^{p+q-1}e^{-u}\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}e^{-tu} ,dt\right]du\xrightarrow{里层积分做替换t=\frac{t}{u}}\ &\int_{0}^{+\infty}\left[u^{q-1}e^{-u}\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}e^{-t} ,dt\right]du\ =\int_{0}^{+\infty}\left[u^{q-1}e^{-u}\Gamma§\right]du=\Gamma§\int_{0}^{+\infty}u^{q-1}e^{-u}du\ &=\Gamma§\Gamma(q),故有， \&\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\frac{\Gamma§\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}=B(p,q). \&现在说明上面两个无穷积分换序是合理的，因为被积函数在t>0,u>0连续，非负；\&积分\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}u^{p+q-1}e^{-(1+t)u} ,du=\frac{\Gamma(p+q)}{(1+t)^{p+q}}t^{p-1}在t>0上连续；\ &积分\int_{0}^{+\infty}t^{p-1}u^{p+q-1}e^{-(1+t)u} ,dt=u^{q-1}e^{-u}\Gamma§在u>0上连续；\ &又有积分估计\ &\int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty}u^{p+q-1}e^{-u}t^{p-1}e^{-tu} ,dt\right]du=\Gamma§\Gamma(q)<+\infty 故上面的广义积分号可以换序。\ \ \ &现在考虑p>0,q>0.前面证明了B函数与Γ函数的联系公式，和递推公式，\ &B(p+1,q+1)=\frac{\Gamma(p+1)\Gamma(q+1)}{\Gamma（p+q+2）}\xrightarrow{两边都应用递推公式}B(p,q)=\frac{\Gamma§\Gamma(q)}{\Gamma（p+q）}\ \end{aligned}$