柯西-施瓦茨积分不等式的证明及应用
Author: [扬骁]
Link: [https://zhuanlan.zhihu.com/p/620322246]
定理 设 $f(x),g(x)$ 在区间[a，b]上连续，则
$(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)²≤\int_{a}^{b}f²(x)dx\int_{a}^{b}g²(x)dx$
等号成立的必要条件是存在常数k使得 $f(x)=kg(x)$
证明
1.定积分的定义
对区间[a，b]等分，等分点为 $x_i=a+\frac{b-a}{n}i,(i=1,2,3,\cdot\cdot\cdot,n)$ 由定积分定义可知
$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_i)g(x_i)\cdot \frac{b-a}{n}}}\ \int_{a}^{b}f^2(x)dx=\lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f^2(x_i)\cdot \frac{b-a}{n}}}\ \int_{ ...
